Max Home IndustryДжон Нэш оказал огромное влияние на вычисления, но никогда не был их частью. Здесь мы рассказываем о некоторых вещах, над которыми он работал, и о том, почему они важны.
Печально размышлять о том факте, что популярная пресса отмечает кончину одного из последних универсалов математики, называя его человеком «прекрасного разума». Это правда, что его борьба с шизофренией в течение десяти лет с 1960 по 1970 гг. Сформировала сюжет фильма Рассела Кроу «Прекрасный разум», но это всего лишь крошечный фрагмент и самая личная часть повествования.
На другом тривиальном уровне у вас может возникнуть соблазн назвать его человеком, который изобрел слово «хакер». Сообщается, что он использовал этот термин во время лекций и семинаров в Массачусетском технологическом институте как оскорбление, и это прижилось.
Так что же важного в Джоне Нэше?
Самым известным является то, что он отвечает за одноименную теорию равновесия Нэша. Это важная идея в теории игр, но она очень тонкая, и ее трудно понять. Объяснение в фильме «Прекрасный разум» неверно, даже если оно развлекательное. Равновесие по Нэшу требует, чтобы каждый игрок принял стратегию, которую он не изменил бы, чтобы получить большее вознаграждение, если бы он знал стратегии других игроков и был уверен, что они не изменятся в результате любых изменений, которые они могли бы сделать. Заметьте, что это неуловимо, потому что это «самоподдерживающееся», поскольку все игроки не должны извлекать выгоду из изменения своей стратегии, а не только одного.
Классический пример — дилемма заключенного. Двое заключенных, A и B, не могут общаться, и каждому говорят, что, если они предадут другого, они получат меньший срок, а другой проведет в тюрьме больше времени. Ясно, что кажется, что лучший способ действий для обоих — сказать молчание, но в этом случае у нас нет равновесия по Нэшу, потому что, например, если А изменился на предательство, а В оставался в молчании, то А выиграет — в этом случае изменение стратегии — это хорошо.
Равновесие по Нэшу наступает только в том случае, если и A, и B. Теперь они оба получают более короткие приговоры, но не такие короткие, как если бы они оба промолчали — очевидно, это не лучший возможный результат. Однако это равновесие, потому что, если один из них рассматривает возможность перехода на молчание, в то время как другой придерживается стратегии предательства, то тот, кто меняет, делает хуже. Очевидно, что ни один из заключенных не изменит своей стратегии, зная, что другой заключенный решил предать.
Интересно, что пример равновесия по Нэшу, приведенный в фильме, отсутствует, и вы легко можете понять, почему.
Красивая блондинка заходит в бар с четырьмя брюнетками и четырьмя парнями, которые обсуждают свои стратегии. Во-первых, все они думают, что лучше всего пойти за блондином. Затем персонаж Нэша объясняет, что если они это сделают, то ни один из них вряд ли добьется успеха из-за конкуренции, и они не получат брюнетку, потому что они будут рассматриваться как второй выбор. Затем персонаж Нэша продолжает объяснять, что их лучшая стратегия — игнорировать блондинку, и все они получают награду неоптимальной брюнетки.
Хорошо — игнорируя странную сексистскую мораль этой сказки — вы можете видеть, что это не равновесие по Нэшу, потому что если кто-то из четырех парней знает, что другие трое преследуют брюнетку, тогда имеет смысл сменить стратегию, чтобы преследовать блондин. Это интересная социальная ситуация, но это не равновесие по Нэшу.
Итак, фильм ошибается.
Кроме того, он неправильно понимает его болезнь и раннюю жизнь. Это также не объясняет, насколько важна идея равновесия по Нэшу при изучении некооперативных игр. Он используется при анализе конфликтов, эволюции и экономики.
Над чем еще работал Джон Нэш?
Он решил 19-ю проблему Гильберта, относящуюся к типу дифференциального уравнения. Проблема очень техническая, но по сути спрашивает:
если дифференциальное уравнение, полученное из вариационной задачи, является эллиптическим уравнением в частных производных с аналитическими коэффициентами, является аналитическим решением.
Я сказал вам, что это технический вопрос, но вариационные задачи — это способ формулирования механики, квантовой механики, теории относительности и многих других предметов, основанных на идее минимизации функции, называемой лагранжианом. 19-я проблема Гильберта заключается в следующем: если у вас есть хорошо поставленная вариационная задача, результат будет аналитическим, то есть «хорошим». Нэш решил это в 1956 году, но обнаружил, что другой математик только что опубликовал совершенно отдельное доказательство. Предполагается, что если бы какой-либо математик получил доказательство самостоятельно, то он был бы награжден за это медалью Филдса.
Проблема Гильберта 19-я — это своего рода результат в теории сложности вычислений: вы не можете получить более сложный результат как решение определенного класса уравнений. Примерно в то же время он написал письмо в АНБ, в котором предложил систему шифрования, основанную на вычислительной сложности. Он предложил идею о том, что истинная безопасность криптографической системы зависит от сложности извлечения ключа из зашифрованного текста. Сегодня мы думаем об этом как об односторонней функции или о функции лазейки, которую легко вычислить, но сложно обратить. В письме Нэша содержатся основные идеи современной криптографии, на разработку которых потребовалось еще 20 лет, но АНБ отвергло их.
Можно еще многое сказать о том, над чем работал Нэш. Он дает некоторые интересные, но в большинстве своем игнорируемые результаты как по квантовой теории, так и по теории относительности. Однако прежде чем закончить, уместно упомянуть еще один важный результат, которым Нэш достаточно хорошо известен, — его теоремы вложения.
Если у вас есть описание очень общего n-мерного искривленного пространства — риманова многообразия — тогда возникает вопрос, могут ли все такие искривленные пространства быть вложены в плоское пространство более высокой размерности? Например, поверхность сферы представляет собой искривленное двухмерное пространство, но, очевидно, она может быть встроена в трехмерное евклидово, то есть плоское пространство. Все ли искривленные пространства, независимо от их размерности или странности их кривизны и топологии, могут быть встроены в плоское пространство более высоких измерений? Ответ дают теоремы вложения Нэша, и это да. В теоремах на самом деле говорится, что вложение изометрическое, то есть сохраняет расстояния между всеми точками.
Вы можете думать об этом как о том, что изогнутые пространства — это просто изогнутые объекты в плоском пространстве более высокой размерности, а с плоскими пространствами гораздо легче работать. Эти идеи когда-то были чисто теоретическими, но сегодня они имеют важное значение для анализа данных — встраивать набор точек в многомерное пространство и переходить к уменьшению измерения с минимальными искажениями, а также в компьютерной графике, где изогнутые сетки можно обрабатывать в плоском пространстве. .
Если бы у Джона Нэша не было проблемы с шизофренией, тогда популярные СМИ не называли бы его человеком с «красивым умом», и он был бы менее известен, но у нас могли бы быть более важные результаты, подобные тем, которые он произвел в свои ясные времена.
Джон Нэш был удостоен Нобелевской премии по экономике в 1994 году, а в этом году он вместе с Луи Ниренбергом получил премию Абеля 2015 года «за выдающийся и плодотворный вклад в теорию нелинейных уравнений в частных производных и ее приложения к геометрическому анализу».
Это было по дороге домой после недели празднования в Норвегии, где король Харальд V вручил премию Абеля о том, что Джон Нэш и его жена погибли в дорожно-транспортном происшествии. По данным CNN:
«Нэш, 86 лет, и Алисия Нэш, 82 года, ехали в такси недалеко от городка Монро, когда произошел инцидент, — сказал сержант полиции 1-го класса Грегори Уильямс:
Они ехали на юг по левой полосе, когда такси вышло из-под контроля при попытке обогнать другую машину. Автомобиль врезался в ограждение, и они были выброшены из автомобиля. Они были объявлены мертвыми на месте происшествия.
Джон Нэш должен вдохновлять всех глубоких мыслителей, которые не хотят быть привязанными к одному академическому предмету. В сноске к представленной им статье по общей теории относительности (Интересное уравнение) он заявил:
«Поскольку эта лекция посвящена теме, не связанной с исследованиями, лежащими в областях наибольшего признанного профессионального опыта докладчика, и поскольку она рассматривается как» представляющая интерес «(но не обязательно имеющая постоянную ценность (когда судит будущее)), она кажется уместным не заполнять час просто презентацией лекции, а вместо этого сэкономить время, в течение которого могут возникать вопросы и ответы или предложения и дискуссии «.