Max Home IndustryСтолько дней с числами Пи, столько цифр — и все же это остается загадочным и завораживающим. Я даю вам несколько глубоких мыслей об иррациональном трансцендентальном.
Наша система счисления намного страннее, чем думают нематематики. Числа, что может быть более известным и понятным? Одно число просто следует за другим … но, конечно, это не так. Счетные числа, целые числа действительно следуют таким образом — всегда есть следующее целое число. Когда вы переходите к дробям или рациональным числам, дело обстоит не так — какое следующее рациональное число после 1/2? Это тайна континуума, и она становится все более загадочной.
Между рациональными числами есть числа, которые нельзя выразить отношением целых чисел, т.е.они не рациональны, они иррациональны. Самое известное иррациональное число — это квадратный корень из двух, и его можно доказать с помощью элементарных методов, основанных на аргументах о четности и нечетности.
Если иррациональное число не может быть записано как отношение двух целых чисел, то как нам его записать?
Это проблема, на решение которой потребовалось много времени. Самое простое выражение решения — сказать, что иррациональное число требует бесконечного числа цифр, чтобы зафиксировать его значение. Десятичное представление квадратного корня из двух продолжается и продолжается. Он никогда не повторяется, потому что в этом случае вы можете доказать, что это было бы рационально, а это не так.
Если для определения иррационального числа требуется бесконечная последовательность цифр, в каком смысле мы его записали? В конце концов, мы никогда не могли перестать писать! На это можно взглянуть так: иррациональное число может быть записано с любой точностью, которую вы хотите указать. Если 10 цифр недостаточно точны, вы можете использовать 11 или 12 или … Это прагматичный и очень неудовлетворительный ответ, но это все, что у нас есть. Лучшее, что мы можем сделать, — это присвоить номеру конечный символ, например √2, и записать это конечное представление в выражения. Это кажется столь же бесполезным, пока вы не поймете, что можете использовать определяющие свойства иррационального для упрощения выражения. Вы надеетесь, что иррациональные числа исчезнут — например, всякий раз, когда вы видите √22, вы можете заменить символ на 2. В конце дня у вас, вероятно, останется один или два иррациональных числа в выражении, а на данный момент у вас нет выбор, кроме как вернуться к конечному приближению.
Иррациональные числа, такие как квадратный корень из двух, «хороши» в том смысле, что они удовлетворяют алгебраическим уравнениям. Это означает, что они обладают хорошими свойствами, такими как квадратный корень из двух. Мы можем написать для них конечные алгоритмы, которые производят конечные приближения. Другими словами, есть алгоритмы, которые генерируют десятичное разложение с любой точностью. Большой шок в том, что большинство иррациональных чисел не похожи на квадратный корень из двух — они не удовлетворяют конечному алгебраическому уравнению, они неалгебраичны или трансцендентны.
Наконец мы подошли к сегодняшней теме — Пи. Это наиболее известное иррациональное трансцендентное число. Кроме того, это «самый приятный» из трансцендентальных элементов в том смысле, что он обладает множеством свойств и множеством очень простых конечных алгоритмов, которые производят конечные приближения. Это число, во многом укоренившееся в закономерностях, делающих возможной математику, однако как величина оно должно быть нерегулярным и невозможно записать, кроме как в виде бесконечной неповторяющейся последовательности цифр.
Большинство трансцендентальных чисел не похожи на Пи — у них нет алгоритмов, которые их генерируют, и у них нет красивых конечных символов для их представления. Это числа с недостаточной регулярностью, чтобы их можно было использовать в арифметике и более широкой математике. Мы знаем, что эти числа существуют из-за счетного аргумента — их больше, чем программ. Это числа, которые мы действительно не можем знать. Узнаваемость — вот что делает Пи таким исключительным.