Max Home IndustryВозможно, вы слышали отчеты о вычислении числа Пи до миллионов цифр, но вы могли не знать, что есть другие связанные константы, которые вычислить гораздо сложнее. Теперь мы приближаемся к возможности вычислить и эти значения — и дело не в большей вычислительной мощности.
В недавней статье объясняется, как вычисления, которые считались недосягаемыми, теперь доступны нам. Вычисление числа Пи кажется относительно простым занятием по сравнению с вычислением констант, которые кажутся очень похожими — например, возьмите Пи в квадрате. Это просто Пи в степени двойки, и мы можем довольно легко получить цифры Пи, но возвести Пи в квадрат не так просто.
Чтобы поместить вещи в контекст, мы берем вычисление не тысячных или миллионных цифр, а триллионов. Пи уже известно до пяти миллионов миллионов цифр, но, например, каталонская константа была вычислена только до 31 миллиарда цифр. Много, но далеко не десять триллионов цифр в квадрате числа Пи, которые только что достигнуты.
Секрет такого повышения производительности — небольшая хитрость. Еще в 1997 году была открыта замечательная формула — формула Бейли, Борвейна и Плаффа, или BBP. Это дало цифры Пи, начиная с произвольной позиции цифры, без необходимости вычислять цифры до этой позиции. Поэтому, если вы хотите вычислить десятиллионную цифру числа Пи, вы можете — без необходимости сначала вычислять более ранние цифры.
Это замечательно. Пи является иррациональным, его расширение в любой базе продолжается вечно, и оно никогда не становится периодическим или трансцендентным, оно не является корнем какого-либо многочлена, и, тем не менее, его цифры имеют такую структуру, что вы можете вычислить k-ю цифру без необходимости вычислять первый, второй, третий и вплоть до k-1.
Что удивительно, так это то, как была найдена формула BBP. Была обнаружена формула типа BBP для двоичных цифр log 2. Родилась идея, что может существовать такая же формула для Пи. Метод, использованный для поиска одного, основывался на использовании компьютера и алгоритма обнаружения целочисленных отношений PSLQ для нахождения точной связи между Pi и целочисленной комбинацией констант с аналогичным расширением ряда в журнал 2. После месяцев поиска формулы BBP для Pi был найден.
Исходная формула BBP дала k-ю цифру числа Пи в шестнадцатеричном представлении. Начался компьютерный поиск формул BBP в других базах, но согласно теореме, доказанной в 2004 году, кажется, что единственные полезные формулы BBP для Pi должны находиться в базе, которая является степенью двойки.
Формула BBP для Пи использовалась для вычисления цифр, начиная с одной квадриллионной цифры, и для проверки более традиционных вычислений.
С 1997 года тот же метод поиска использовался для поиска формул BBP для других констант — в квадрате Пи, в кубе Пи, константе Каталонии и других. Константа Каталонии интересна тем, что это одна из простейших констант, определяемых рядом, иррациональность или трансцендентность не доказана, хотя обе кажутся вероятными.
Используя формулы BBP для этих констант, система IBM BlueGene / P была настроена на вычисление базовых 64 цифр в квадрате Пи, начиная с 10 триллионной цифры, базовых 729 цифр в квадрате Пи, начиная с 10 триллионной цифры и базовых 4096 цифр каталонского. постоянный старт с 10 триллионной позиции. Каждое вычисление на BlueGene занимало от 10 до 30 дней.
Зачем беспокоиться?
«Случайное» блуждание по миллиону цифр каталонской константы.
Что ж, если вам нужно спросить, ответы наверняка вас не впечатлят. Экспериментальная математика дает возможность наблюдать за поведением последовательностей цифр и выдвигать гипотезы, которые могут быть предметом доказательств при наличии достаточного времени. В данном конкретном случае природа самих формул BBP является ключом к определению закономерностей констант.
«По этим причинам существует постоянный интерес к теории констант типа BBP, поскольку, как уже упоминалось, существует интригующая связь между формулами типа BBP и некоторыми хаотическими итерациями, которые сродни генераторам псевдослучайных чисел. Если эти связи могут быть усиление, то, возможно, доказательства нормальности могут быть получены для широкого диапазона полилогарифмических констант, включая, возможно, Pi, log 2 Pi в квадрате и G. »
И статья заканчивается интересной гипотезой:
Гипотеза 2. Формулы BBP для e не существует. Более того, нет способа извлечь отдельные цифры e значительно быстрее, чем путем вычисления первых n цифр.
IBM BlueGene / P