Топология проливает новый свет на синхронизацию в сетях высшего порядка

Подобно оркестру, играющему во времени без дирижера, элементы сложной системы могут естественным образом синхронизироваться друг с другом. Это коллективное явление, известное как синхронизация, встречается повсюду в природе, от нейронов, срабатывающих вместе в мозгу, до светлячков, мигающих в унисон в темноте.

Модель Курамото используется для изучения синхронизации, наблюдаемой в сложных системах. Сложные системы часто математически представлены сетями, где компоненты в системе представлены в виде узлов, а связи между узлами показывают взаимодействие между ними.

Большинство исследований синхронизации сосредоточено на сетях, в узлах которых размещаются динамические осцилляторы, которые ведут себя как часы и соединяются со своими соседями по каналам сети. Однако подавляющее большинство сложных систем имеют более богатую структуру, чем сети, и включают взаимодействия более высокого порядка, которые происходят между более чем двумя узлами. Эти сети высшего порядка называются симплициальными комплексами и активно изучаются математиками, работающими в области дискретной топологии.

В настоящее время исследование, проведенное профессором Гинестрой Бьянкони, профессором прикладной математики Лондонского университета королевы Марии, предлагает новую модель Курамото «высшего порядка», сочетающую топологию с динамическими системами и впервые описывающую синхронизацию в сетях высшего порядка. время.

Исследование показало, что синхронизация высшего порядка происходит внезапно, «взрывным» образом, что отличается от стандартной модели Курамото, где синхронизация происходит постепенно.

Математик Христиан Гюйгенс впервые обнаружил синхронизацию в 1665 году, когда он заметил, что два маятниковых часа, подвешенные на одной деревянной балке, колеблются во времени друг с другом. Однако только в 1974 году японским физиком Йошики Курамото была предложена простая математическая модель для описания этого коллективного явления.

Модель Курамото отражает синхронизацию в большой сети, где на каждом узле находится генератор, похожий на часы, который связан с другими генераторами на соседних узлах. При отсутствии связей между узлами каждый осциллятор подчиняется своей собственной динамике и не зависит от своих соседей. Однако, когда взаимодействие между соседними узлами переключается на значение, превышающее заданное, осцилляторы начинают работать с той же частотой.

Хотя модель Курамото описывает синхронизацию динамики, связанной с узлами сети в симплициальных комплексах, объекты более высокого порядка в сети, такие как связи или треугольники, также могут демонстрировать динамические или «топологические» сигналы, такие как потоки.

В новом исследовании исследователи предлагают модель Курамото более высокого порядка, которая может описывать синхронизацию этих топологических сигналов. Поскольку топологические сигналы, такие как потоки, могут быть обнаружены в мозгу и в биологических транспортных сетях, исследователи предполагают, что эта новая модель может выявить синхронизацию более высокого порядка, которая раньше оставалась незамеченной.

Профессор Бьянкони, ведущий автор исследования, сказал: «Мы объединили теорию Ходжа, важную ветвь топологии, с теорией динамических систем, чтобы пролить свет на синхронизацию более высокого порядка. С помощью нашей теоретической основы мы можем рассматривать синхронизацию топологические динамические сигналы, связанные со связями, такими как потоки, или с треугольниками или другими строительными блоками более высокого порядка сетей высшего порядка. Эти сигналы могут подвергаться синхронизации, но эта синхронизация может оставаться незамеченной, если не выполняются правильные топологические преобразования. Что мы предлагаем вот эквивалент преобразования Фурье для топологических сигналов, который может выявить этот переход в реальных системах, таких как мозг «.

Прерывистый переход, обнаруженный в ходе исследования, также свидетельствует о том, что явление синхронизации не только спонтанно, но и возникает внезапно, показывая, как топология может вызвать резкие изменения динамики в начале перехода синхронизации.